Перемножение одной матрицы на другую в Microsoft Excel

Перемножение одной матрицы на другую в Microsoft Excel

Одной из частых операций, которую выполняют при работе с матрицами, является перемножение одной из них на другую. Программа Excel является мощным табличным процессором, который предназначен, в том числе и для работы над матрицами. Поэтому у него имеются инструменты, которые позволяют перемножить их между собой. Давайте узнаем, как это можно выполнить различными способами.

Процедура перемножения матриц

Сразу нужно сказать, что перемножить между собой можно далеко не все матрицы, а только те, которые соответствуют определенному условию: число столбцов одной матрицы должно быть равным числу строк другой и наоборот. Кроме того, исключается наличие в составе матриц пустых элементов. В этом случае тоже выполнить требуемую операцию не получится.

Способов перемножить матрицы в Экселе все-таки не так уж и много — всего два. И оба они связаны с применением встроенных функций Excel. Разберем в деталях каждый из данных вариантов.

Способ 1: функция МУМНОЖ

Наиболее простым и популярным вариантом среди пользователей является применение функции МУМНОЖ. Оператор МУМНОЖ относится к математической группе функций. Как раз его непосредственной задачей и является нахождение произведения двух матричных массивов. Синтаксис МУМНОЖ имеет такой вид:

Таким образом этот оператор имеет два аргумента, которые представляют собой ссылки на диапазоны двух перемножаемых матриц.

Теперь давайте посмотрим, как используется функция МУМНОЖ на конкретном примере. Имеется две матрицы, число строк одной из которых, соответствует количеству столбцов в другой и наоборот. Нам нужно перемножить два этих элемента.

    Выделяем диапазон, где будет отображаться результат умножения, начиная с его верхней левой ячейки. Размер данного диапазона должен соответствовать числу строк у первой матрицы и числу столбцов у второй. Клацаем по пиктограмме «Вставить функцию».

Активируется Мастер функций. Перемещаемся в блок «Математические», кликаем по наименованию «МУМНОЖ» и клацаем по кнопке «OK» в нижней части окна.

После того, как оба аргумента внесены, не спешим жать на кнопку «OK», так как мы имеем дело с функцией массива, а это значит, что для получения корректного результата обычный вариант завершения работы с оператором не подойдет. Данный оператор предназначен не для того, чтобы выводить результат в одну ячейку, так как выводит его в целый диапазон на листе. Итак, вместо нажатия кнопки «OK» жмем комбинацию кнопок Ctrl+Shift+Enter.

  • Как видим, после этого предварительно выделенный диапазон был заполнен данными. Это и есть результат умножения матричных массивов. Если взглянуть на строку формул, после выделения любого из элементов данного диапазона, то мы увидим, что сама формула обернута в фигурные скобки. Это и есть признак функции массива, который добавляется после нажатия сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter перед выводом результат на лист.
  • Способ 2: использование составной формулы

    Кроме того, существует ещё один способ умножения двух матриц. Он более сложный, чем предыдущий, но тоже заслуживает упоминания, как альтернативный вариант. Данный способ предполагает использование составной формулы массива, которая будет состоять из функции СУММПРОИЗВ и вложенного в неё в качестве аргумента оператора ТРАНСП.

      На этот раз выделяем на листе только левый верхний элемент массива пустых ячеек, который рассчитываем использовать для вывода результата. Щелкаем по значку «Вставить функцию».

    Мастер функций запускается. Перемещаемся в блок операторов «Математические», но на этот раз выбираем наименование СУММПРОИЗВ. Клацаем по кнопке «OK».

    Происходит открытие окна аргументов вышеуказанной функции. Данный оператор предназначен для перемножения различных массивов между собой. Его синтаксис следующий:

    В качестве аргументов из группы «Массив» используется ссылка на конкретный диапазон, который нужно перемножить. Всего может быть использовано от двух до 255 таких аргументов. Но в нашем случае, так как мы имеем дело с двумя матрицами, нам понадобится как раз два аргумента.

    Ставим курсор в поле «Массив1». Тут нам нужно будет ввести адрес первой строки первой матрицы. Для этого, зажав левую кнопку мыши, нужно просто выделить её на листе курсором. Тут же координаты данного диапазона будут отображены в соответствующем поле окна аргументов. После этого следует зафиксировать координаты полученной ссылки по столбцам, то есть, эти координаты нужно сделать абсолютными. Для этого перед буквами в выражении, которое вписано в поле, устанавливаем знак доллара ($). Перед координатами, отображенными в цифрах (строки), это делать не следует. Также, можно вместо этого выделить всё выражение в поле и трижды нажать на функциональную клавишу F4. В данном случае абсолютными тоже станут лишь координаты столбцов.

    После этого устанавливаем курсор в поле «Массив2». С этим аргументом будет посложнее, так как по правилам умножения матриц, вторую матрицу нужно «перевернуть». Для этого используем вложенную функцию ТРАНСП.

    Чтобы перейти к ней, клацаем по значку в виде треугольника, направленного острым углом вниз, который размещен слева от строки формул. Открывается список недавно используемых формул. Если вы в нем найдете наименование «ТРАНСП», то щелкайте по нему. Если же вы давно использовали данный оператор или вообще никогда не применяли его, то в этом списке указанное наименование вы не отыщите. В этом случае требуется нажать по пункту «Другие функции…».

    Открывается уже хорошо знакомое нам окно Мастера функций. На этот раз перемещаемся в категорию «Ссылки и массивы» и выбираем наименование «ТРАНСП». Щелкаем по кнопке «OK».

    Производится запуск окна аргументов функции ТРАНСП. Данный оператор предназначен для транспонирования таблиц. То есть, попросту говоря, он меняет местами столбцы и строки. Это нам и нужно сделать для второго аргумента оператора СУММПРОИЗВ. Синтаксис функции ТРАНСП предельно простой:

    То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на тот массив, который следует «перевернуть». Вернее, в нашем случае даже не на весь массив, а только на его первый столбец.

    Итак, устанавливаем курсор в поле «Массив» и выделяем первый столбец второй матрицы на листе с зажатой левой кнопкой мыши. Адрес отобразится в поле. Как и в предыдущем случае, тут тоже нужно сделать определенные координаты абсолютными, но на этот раз не координаты столбцов, а адреса строк. Поэтому ставим знак доллара перед цифрами в ссылке, которая отображается в поле. Можно также выделить всё выражение и дважды кликнуть по клавише F4. После того, как нужные элементы стали иметь абсолютные свойства, не жмем на кнопку «OK», а так же, как и в предыдущем способе, применяем нажатие комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

    Но на этот раз у нас заполнился не массив, а только одна ячейка, которую мы ранее выделили при вызове Мастера функций.

    Нам нужно заполнить данными такой же по размеру массив, как и в первом способе. Для этого следует скопировать формулу, полученную в ячейке, на равнозначный диапазон, который будет равен количеству строк первой матрицы и количеству столбцов второй. В конкретно нашем случае получается три строки и три столбца.

    Читайте также  Консолидация данных в программе Microsoft Excel

    Для копирования прибегнем к использованию маркера заполнения. Наводим курсор на нижний правый угол ячейки, в которой расположена формула. Курсор преобразуется в черный крестик. Это и есть маркер заполнения. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем курсор по всему вышеуказанному диапазону. Сама начальная ячейка с формулой должна стать левым верхним элементом данного массива.

  • Как видим, выделенный диапазон заполнен данными. Если их сравнить с тем результатом, который мы получили благодаря применению оператора МУМНОЖ, то увидим, что значения полностью идентичны. Это означает, что умножение двух матриц выполнено верно.
  • Как видим, несмотря на то, что был получен равнозначный результат, использовать функцию для умножения матриц МУМНОЖ значительно проще, чем применять для этих же целей составную формулу из операторов СУММПРОИЗВ и ТРАНСП. Но все-таки данный альтернативный вариант тоже нельзя оставить без внимания при изучении всех возможностей перемножения матриц в Microsoft Excel.

    Функции для работы с матрицами в Excel

    В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

    Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

    Формулы массива

    Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

    Порядок применения формулы массива:

    1. Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
    2. Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
    3. Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.

    В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

    Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

    Решение матриц в Excel

    С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

    Транспонирование

    Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

    Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

    • 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
    • 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.

    Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

    Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

    Сложение

    Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

    В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

    Умножение матриц в Excel

    Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

    Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

    В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

    Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.

    Обратная матрица в Excel

    Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

    Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

    Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

    Нахождение определителя матрицы

    Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

    Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

    Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

    Функции для работы с матрицами в Excel

    В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

    Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

    Формулы массива

    Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

    Порядок применения формулы массива:

    1. Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
    2. Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
    3. Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.

    В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

    Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

    Решение матриц в Excel

    С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

    Транспонирование

    Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

    Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

    • 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
    • 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.

    Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

    Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

    Сложение

    Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

    В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

    Умножение матриц в Excel

    Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

    Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

    Читайте также  Выборка данных в Microsoft Excel

    В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

    Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.

    Обратная матрица в Excel

    Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

    Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

    Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

    Нахождение определителя матрицы

    Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

    Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

    Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

    Вычисление матрицы в MS Excel (стр. 1 из 2)

    Операции с матрицами

    Вычисление определителя матрицы

    Нахождение обратной матрицы

    Сложение и вычитание матриц

    Умножение матрицы на число

    Средства MSExcel оказываются весьма полезны в линейной алгебре, прежде всего для операций с сматрицами и решения систем линейных уравнений.

    Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что же такое матрица? Как выполняются действия с матрицами?

    Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: aij, где I – номер строки, а j – номер столбца. Например, матрица А размером m×nможет быть представлена в виде:

    где i=1, …, m; j=1, …, n.

    Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть aij=bijдля любых i=1,2, …, m; j=1,2, …, n.

    а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом:

    Если у элемента матрицы aij номер столбца равен номеру строки (i=j), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы

    Квадратная матрица с равными нулю всеми недиагональными элементами называется диагональной.

    Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю:

    Операции с матрицами

    Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

    Транспонированной называется матрица (А Т ), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

    В сокращённой записи, если А= (aij), то А Т = (aji).

    Для обозначения транспонированной матрицы иногда используют символ «’» (A’). Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (А) к транспонированной (А Т ).

    Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер m×n, то транспонированная матрицаА Т имеет размер n×m.

    Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

    Функция имеет вид ТРАНСП (массив). Здесь массив – это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.

    Пример 1.1 Предположим, что диапазон ячеек A1:E2 введена матрица размера 2×5

    Необходимо получить транспонированную матрицу.

    1. Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (52). Например, A4:B8.

    2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

    3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция – имя функции ТРАНСП (рис. 1.1). После этого щелкните на кнопке ОК.

    Рис. 1.1. Пример выбора вида функции в диалоговом окне Мастер функций

    4. Появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы A1:E2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.2).

    Рис. 1.2.Пример заполнения диалогового окна ТРАНСП

    5. Если транспонированная матрица не появилась в диапазоне A4:B8, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

    Вычисление определителя матрицы

    Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы А обозначается как |А| или ∆.

    Определителем матрицы первого порядка А = (а11), или определителем первого порядка, называется элемент а11.

    Определителем матрицы второго порядка А = (aij), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

    Произведения а11а22 и а12а21 называются членами определителя второго порядка.

    С ростом порядка матрицы n резко увеличивает число членов определителя (n!). Например, при n=4 имеем 24 слагаемых. Существуют специальные правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются свойства определителей и т. п. При применении компьютера в использовании этих приемов нет необходимости.

    В MSExcel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

    Функция имеет вид МОПРЕД(массив).

    Здесь массив – это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, А1:С3; или как массив констант, например, <1;2;3;4;5;6;7;8;9>. Для массива А1:С3, состоящего из трёх строк и трёх столбцов (матрица размером 3×3), определитель вычисляется следующим образом:

    Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы.

    Пример 1.2. Предположим, что в диапазон ячеек А1:С3 введена матрица:

    Необходимо вычислить определитель этой матрицы.

    1. Табличный курсор поставьте в ячейку, в которую требуется получить значение определителя, например, А4.

    2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

    3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция – имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК.

    Рис. 1.3.Пример заполнения диалогового окна МОПРЕД

    В ячейке А4 появится значение определителя – 6.

    Нахождение обратной матрицы

    Для каждого числа а≠0 существует обратное число а -1 , и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

    Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

    как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица.

    Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля (|А|≠0); в противном случае (|А|=0) матрица называется вырожденной или особенной.

    Читайте также  Отключение надписи «Страница 1» в Microsoft Excel

    Существуют специальные достаточно сложные алгоритмы для ручного вычисления обратных матриц. В качестве примера того, как вычисляется обратная матрица, рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

    Тогда обратная матрица вычисляется следующим образом:

    В MSExcel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.